Как составить дерево хаффмана

Содержание

Дерево Хаффмана – это способ кодирования символов с помощью бинарных кодов, где часто встречающимся символам присваиваются более короткие коды. Составить дерево Хаффмана можно, используя алгоритм, который основан на последовательном объединении двух наименее часто встречающихся символов в новый узел, до тех пор, пока не останется только один узел – корень дерева.

Далее в статье мы рассмотрим шаги алгоритма построения дерева Хаффмана, приведем примеры его работы, а также расскажем о применении дерева Хаффмана в сжатии данных и других областях.

Основы алгоритма Хаффмана

Алгоритм Хаффмана использует частоту встречаемости символов в тексте для построения дерева, где каждый символ представляется уникальным кодом. Частота символа определяет его важность в тексте: чем больше символ встречается, тем короче будет его код.

Шаги алгоритма Хаффмана:

Подсчет частоты встречаемости каждого символа в тексте.
Создание списка узлов дерева, где каждый узел представляет символ и его частоту.
Сортировка списка по возрастанию частоты символов.
Создание нового узла, объединяющего два узла с наименьшей частотой. При этом частота нового узла будет равна сумме частот двух узлов, которые он объединяет.
Повторение шагов 3 и 4 до тех пор, пока не останется только один узел в списке — корень дерева.
Присвоение уникальных кодов каждому символу в дереве. Если символ находится слева, то коду присваивается "0", а если справа — "1".
Создание префиксного кода для исходного текста, заменяя каждый символ его уникальным кодом.

Полученный префиксный код будет оптимальным, так как символы с наибольшей частотой будут иметь самые короткие коды. Это позволяет сжимать данные, заменяя длинные последовательности символов более короткими кодами.

бакалавриат_РЭТ_осенний семестр_ТЭС(рус.яз)_Практ.раб.№4. Алгоритм сжатия данных.Код Хаффмана

Что такое дерево Хаффмана?

Дерево Хаффмана строится на основе таблицы частотности символов во входной последовательности данных. В начале каждый символ представляется в виде отдельного узла дерева. Затем два узла с наименьшими частотами объединяются в один узел, сумма частот которого равна сумме частот объединяемых узлов. Этот процесс повторяется до тех пор, пока все узлы не объединятся в один корневой узел, который становится корнем дерева Хаффмана.

Пример:

Предположим, что у нас есть следующая последовательность символов: "ABRACADABRA". Мы можем построить таблицу частотности символов:

Символ	Частота
A	5
B	2
R	2
C	1
D	1

Затем мы можем построить дерево Хаффмана, начиная с отдельных узлов для каждого символа:

11
/      
5         6
/        / 
A   2     4   2
/    / 
B   1 R   C
/ 
D   A

В результате, каждый символ будет представлен уникальным битовым кодом в дереве Хаффмана:

A — 0
B — 101
R — 100
C — 1100
D — 1101

Таким образом, исходная последовательность "ABRACADABRA" может быть представлена в виде битовой последовательности "010101100100011110". Это позволяет сжать данные, заменяя длинные последовательности символов более короткими битовыми кодами, что уменьшает общий объем хранимых или передаваемых данных.

Принцип работы алгоритма

Принцип работы алгоритма Хаффмана заключается в следующих шагах:

Анализ частоты встречаемости символов в исходном сообщении.
Создание дерева Хаффмана на основе анализа частоты символов.
Построение префиксного кода для каждого символа на основе дерева Хаффмана.
Замена исходных символов их префиксными кодами в исходном сообщении.

Анализ частоты встречаемости символов

Первый шаг алгоритма заключается в анализе исходного сообщения и подсчете частоты встречаемости каждого символа. Частота может быть представлена, например, в виде таблицы, где каждому символу соответствует его частота.

Создание дерева Хаффмана

На основе анализа частоты символов строится дерево Хаффмана. Дерево Хаффмана — это двоичное дерево, в котором каждый лист соответствует символу, а каждый внутренний узел — сумме частот его потомков. Частота символа определяет его расположение в дереве: символы с более высокой частотой находятся ближе к корню дерева.

Построение префиксного кода

Префиксный код для каждого символа строится путем обхода дерева Хаффмана от корня до листов. При проходе влево добавляется 0 к текущему коду, при проходе вправо добавляется 1. Таким образом, каждый символ получает свой уникальный префиксный код.

Замена символов в сообщении

Последний шаг алгоритма заключается в замене исходных символов их префиксными кодами в исходном сообщении. Это позволяет сжать исходное сообщение, заменив символы более длинными кодами на символы с меньшими кодами.

Построение дерева Хаффмана

Алгоритм построения дерева Хаффмана

Алгоритм построения дерева Хаффмана состоит из следующих шагов:

Подсчет частоты встречаемости каждого символа в исходных данных.
Создание листьев дерева для каждого символа с их частотой встречаемости.
Создание двух вершин с наименьшими значениями частоты встречаемости и объединение их в одну вершину.
Повторение шага 3 до тех пор, пока не останется только одна вершина — корень дерева.

Важным моментом в алгоритме является выбор двух вершин с наименьшими значениями частоты встречаемости. Это можно реализовать с помощью приоритетной очереди или минимальной кучи, которые позволяют быстро получать вершину с наименьшим значением.

Пример построения дерева Хаффмана

Давайте рассмотрим пример построения дерева Хаффмана для следующей последовательности символов и их частот встречаемости:

Символ	Частота
A	5
B	2
C	1
D	4

Сначала создаем листья дерева для каждого символа:

Листье A с частотой 5
Листье B с частотой 2
Листье C с частотой 1
Листье D с частотой 4

Затем объединяем две вершины с наименьшими значениями частоты встречаемости:

Объединяем вершины C и B в новую вершину с частотой 3
Объединяем вершины D и новую вершину с частотой 7
Объединяем вершины A и новую вершину с частотой 12

После всех объединений получаем дерево Хаффмана:

Теперь каждому символу можно сопоставить код, представленный путь от корня до листа в дереве Хаффмана. Например, символу A будет соответствовать код 0, символу B — код 10, символу C — код 110, символу D — код 111.

Таким образом, дерево Хаффмана позволяет эффективно сжимать данные, заменяя длинные последовательности битов более короткими кодами для часто встречающихся символов. Это основополагающий алгоритм в области сжатия данных и наш рассказ был лишь кратким введением в эту тему.

Алгоритм сжатия данных

Типы алгоритмов сжатия данных

Существует два основных типа алгоритмов сжатия данных: без потерь и с потерями.

Алгоритмы без потерь позволяют восстановить исходные данные без изменений. Они основаны на поиске повторяющихся или шаблонных структур в данных и их замене более компактными представлениями. Примерами таких алгоритмов являются алгоритм Хаффмана, алгоритм Лемпела-Зива-Велча (LZW), алгоритм RLE (Run-Length Encoding) и другие.
Алгоритмы с потерями, как следует из названия, приводят к потере части информации при сжатии. Они используют специальные методы, которые позволяют удалить избыточные данные, несущественные для восприятия человеком. Примерами таких алгоритмов являются алгоритм JPEG для сжатия изображений и алгоритм MP3 для сжатия аудио.

Применение алгоритмов сжатия данных

Алгоритмы сжатия данных находят широкое применение в различных областях, включая:

Сжатие изображений: алгоритмы сжатия позволяют уменьшить размер изображений без значительной потери качества. Сжатые изображения занимают меньше места на диске и передаются быстрее через сеть.
Сжатие звука: аудиофайлы могут быть сжаты с использованием алгоритмов с потерями, что позволяет уменьшить их размер без существенной потери качества звука.
Сжатие видео: видеофайлы занимают большой объем памяти, поэтому сжатие данных позволяет уменьшить размер видеофайлов, сохраняя при этом их качество.
Архивирование файлов: сжатие данных позволяет упаковать несколько файлов в один архив, что экономит место на диске и упрощает передачу файлов.
Передача данных через сети: сжатие данных позволяет уменьшить объем передаваемых данных, что ускоряет передачу и снижает затраты на интернет-трафик.

Все эти применения алгоритмов сжатия данных позволяют улучшить эффективность использования ресурсов, сократить затраты на хранение и передачу информации, а также улучшить пользовательский опыт.

Расшифровка сжатых данных

После того, как данные были сжаты с использованием алгоритма Хаффмана, необходимо провести процесс расшифровки, чтобы получить исходную информацию. Расшифровка сжатых данных осуществляется с использованием дерева Хаффмана, которое было создано во время сжатия.

Для начала расшифровки, необходимо иметь доступ к дереву Хаффмана, которое было использовано для сжатия данных. Это дерево содержит информацию о кодировании каждого символа в виде битовой последовательности. Каждый символ представлен своим уникальным кодом, который состоит из 0 и 1. Коды символов могут быть разной длины, в зависимости от частоты их встречаемости в исходных данных.

Процесс расшифровки сжатых данных

Получение сжатых данных.
Доступ к дереву Хаффмана, созданному во время сжатия.
Чтение сжатых данных бит за битом.
Поиск соответствующего символа в дереве Хаффмана на основе прочитанных битов.
Запись найденного символа в расшифрованные данные.
Повторение шагов 3-5 до тех пор, пока все сжатые данные не будут расшифрованы.

При расшифровке данных, каждый бит считывается поочередно. Начиная с корня дерева Хаффмана, происходит поиск следующего символа на основе прочитанных битов. Если бит равен 0, происходит переход к левому потомку текущего узла, если бит равен 1 — к правому потомку. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден листовой узел, который представляет один из символов исходных данных.

Когда листовой узел найден, записывается символ, представленный этим узлом, в расшифрованные данные. Затем процесс повторяется для оставшихся сжатых данных до тех пор, пока все данные не будут расшифрованы.